21
2020
08

负数-补码

看了些补码的知识,摘抄了些,最重要的一点就是计算机内部采用2的补码表示负数。

顺便带着两个小问题:

INT_MAX = 2147483647 ;

cout<<INT_MAX+1<<endl; //正确结果为-2147483648

UINT_MAX = 4294967295;

cout<<UINT_MAX+1<<endl; //正确结果为0

开始正文:

负数在计算机中如何表示?

举例来说,+8在计算机中表示为二进制的1000,那么-8怎么表示呢?

很容易想到,可以将一个二进制位(bit)专门规定为符号位,它等于0时就表示正数,等于1时就表示负数。比如,在8位机中,规定每个字节的最高位为符号位。那么,+8就是00001000,而-8则是10001000。

但是,随便找一本《计算机原理》,都会告诉你,实际上,计算机内部采用2的补码(Two's Complement)表示负数。

什么是2的补码?

它是一种数值的转换方法,要分二步完成:

第一步,每一个二进制位都取相反值,0变成1,1变成0。比如,00001000的相反值就是11110111。

第二步,将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以,00001000的2的补码就是11111000。也就是说,-8在计算机(8位机)中就是用11111000表示。

不知道你怎么看,反正我觉得很奇怪,为什么要采用这么麻烦的方式表示负数,更直觉的方式难道不好吗?

为什么要用2的补码

首先,要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数,其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系,就可以用任意方式表示负数。所以,既然可以任意选择,那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在,所有的加法运算可以使用同一种电路完成

还是以-8作为例子。

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法,即10001000;另一种是2的补码表示法,即1 1111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便?

随便写一个计算式,16 + (-8) = ?                     1 0001000 取反 1 1110111    加1    +1 = 1 1111000   再取反  1 0000111  + 1  = 1 0001000 取反不不包括符号位两次取反得到原值                                                                         正数的补码是其本身 负数的补码是符号位不变 其他位取反之后加1 

   连着变换两次相当于没有做任何操作

16的二进制表示是 00010000,所以用直觉表示法,加法就要写成:                                                        

 00010000                                                                                                                                  
+10001000
---------
 10011000

可以看到,如果按照正常的加法规则,就会得到10011000的结果,转成十进制就是-24。显然,这是错误的答案。也就是说,在这种情况下,正常的加法规则不适用于正数与负数的加法,因此必须制定两套运算规则,一套用于正数加正数,还有一套用于正数加负数。从电路上说,就是必须为加法运算做两种电路。

现在,再来看2的补码表示法。

 00010000
+11111000
---------
100001000

可以看到,按照正常的加法规则,得到的结果是100001000。注意,这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机,因此最高的第9位是一个溢出位,会被自动舍去。所以,结果就变成了00001000,转成十进制正好是8,也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了,2的补码表示法可以将加法运算规则,扩展到整个整数集,从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质及正确性

我们要看先一下模的概念

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范围,即都存在一个“模”。例如:

时钟的计量范围是0~11,模=12。表示n位的计算机计量范围是0~2^(n)-1,模=2^(n)。“模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。

例如: 假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:你可以往回拨4个小时,也可以向前拨8个小时(12-10+6,在钟表系统里模是12)在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。对“模”而言,8和4互为补数。实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8, 所能表示的最大数是11111111,若再加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回了00000000,所以8位二进制系统的模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以了。

    再次重申一下这句话:

   在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。      

 所以对于为10000 0000的8位系统来说,减去b和加上10000 0000-b是一个道理,而(10000 0000-b)是什么?恰好就是b的补码

补码怎么求,“取反加一” 这口诀怎么来的?

承认了8 - 5 = 8 + (-5的补码)这个事实后,我们来看-5的补码怎么求,“取反加一”怎么来的

其实看完了上面的模的问题,该问题的答案基本已经出来了

-5的补码是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = (1111 1111 - 5) + 1

1111 1111减去一个数事实上就是在对这个数取反,后面那个是+1

两个小问题的解释:

(1)32位系统里,int的最大值为01111111 11111111 11111111 11111111,加1之后为

10000000   00000000   00000000   00000000。这个数是什么?

首先这是个负数-->负数在计算器里都是补码形式存放-->这是个补码-->那么真值是?--> -2147483648(已知负数的补码求该负数,不会求的百度一下吧。。。)

(2)  再取反就得到原来的值

对于unsigned,最大值(32个1)加1后最前面的1自然丢失,剩下32个0,所以就是0。

结束。

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评论列表:

1.xialibing  2020-08-21 18:45:07 回复该评论
你复制的啥啊 一点排版都没有 你自己相看不
1.xiao  2020-08-21 18:49:02 回复该评论
ok了大佬
1.xiao  2020-08-21 18:46:15 回复该评论
。。

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